弯周折曲的空间里，咋测量长度和角度？这可把古东谈主愁坏了。直到黎曼老爷子横空出世，给出了一套妙不成言的表面 - 黎曼几何。这玩意儿不光能测量各式曲解空间里的距离男同 按摩，还能帮我们理会六合的情状呢！

从平面到曲面：度量张量

平面上测距离粗心，一把直尺就料理。但到了曲面上可就不是这样回事儿了。比如地球名义，你思测量北京到纽约的实质距离，直尺可就不好使了。

这时辰就得请出 度量张量 这个大昆季。它就像是一个神奇的尺子，能告诉你曲面上大肆极少、大肆标的的“缩放比例”。用数学谈话说，它是一个2×2的矩阵，决定了曲面上的距离该咋测。

import numpy as npdef metric_tensor(u， v)：    # 球面上的度量张量示例    R = 6371 # 地球半径(km)    g = np.array([        [R**2， 0]，        [0， (R*np.cos(u))**2]    ])    return g

温馨领导：度量张量矩阵必须是对称的，而况得是正定的（这保证了距离永恒是正数）。

测地线：最短旅途之谜

平面上两点间直线最短，这谁皆知谈。但曲面上呢？谜底是 测地线 。

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拿地球来说，北京到纽约的最短航路才不是舆图上画的直线呢！它是个大圆弧 - 这等于测地线。测地线上大肆极少的加快度在切平面里皆是零，就像是一个东谈主在曲面上走直线。

def geodesic_equation(gamma， dgamma， G)：    # 测地线方程（二阶常微分方程）    ddgamma = -sum(G * dgamma[：， None] * dgamma[None， ：])    return ddgamma

曲率：空间周折的密码

空间周折得有多利害？ 黎曼曲率张量 告诉你谜底。它是个四阶张量（没错，比度量张量还要复杂），纪录了空间各个标的的周折进度。

在二维曲面上，事情粗心点，只需要算 高斯曲率 K就够了：

K > 0：空间像球面那样饱读起来K < 0：空间像马鞍面那样凹陷去K = 0：空间像平面或圆柱面那样平展

温馨领导：高斯曲率是个内蕴量，只和曲面自身关联，跟咋镶嵌高维空间无关。这等于高斯的“绝妙定理”！

平行转移：标的的玄机

曲面上搬运向量可不粗心。你思把一支箭头从这儿搬到那处，还得保抓“平行”，这就需要 平行转移 。

思象你在地球上往东走，手里举着一支指北的箭头。走着走着，这箭头自个儿就转了！这等于曲面上平行转移的趣味之处。

def parallel_transport(v， gamma， G)：    # 沿弧线gamma平行转移向量v    dv = -sum(G * v[：， None] * dgamma[None， ：])    return dv

黎曼几何可不啻这些表情。爱因斯坦的广义相对论等于开荒在它基础上的。说白了，引力场等于时空周折，而这周折咋测量、咋蓄意，全靠黎曼几何这套表面。

物理学家皆爱它，数学家也迷它。非论你信不信，我们生涯的空间说不定就弯着呢！如果你对这事儿上瘾了，我们下回聊聊更多脑洞翻开的几何以事。

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